Federer, 38 anos, que sofria visivelmente algum incômodo físico, venceu com parciais de 6-3, 2-6, 2-6, 7-6 (10/8) e 6-3, em uma partida que durou 4 horas.
A vitória difícil se soma aos cinco sets e 3h31 que precisou para derrotar o australiano John Millman na terceira rodada.
Nas semifinais, o suíço não poderá se dar ao luxo de não jogar a 100% de sua capacidade, já que enfrentará o sérvio Novak Djokovic (Nº2), atual campeão do Aberto da Austrália e que venceu em três sets o canadense Milos Raonic (35º), por 6-4, 6-3, 7-6 (7/1).
"Hoje tive uma sorte incrível, fui melhorando meu jogo à medida que a partida avançava e que diminuía a pressão", declarou Federer, que salvou três match points quando perdia por 5-4 e outros quatro, três deles consecutivos, no tie-break do quarto set.
"Hoje não merecia a vitória, mas aqui estou e evidentemente muito feliz", completou Federer.
"Eu disse apenas: acredito em milagres", comentou, em referência ao momento em que a derrota parecia inevitável.
"Às vezes você se sente estranho. Sentia uma dor na virilha... Não gosto de recorrer ao médico, não gosto de mostrar minhas fraquezas", disse Federer.
No segundo e terceiro sets, Federer demonstrou nervosismo e discutiu com o árbitro por uma advertência. Depois solicitou uma pausa médica e deixou a quadra quando perdia por 6-3, 2-6, 0-3.
Depois de ser superado com facilidade no segundo e terceiro sets, o suíço conseguiu sobreviver no quarto set e no quinto retomou o bom jogo para vencer a partida.
"Preciso jogar melhor nas semifinais, porque em caso contrário certamente terei tempo para esquiar", brincou Federer.
No torneio feminino, a australiana Ashleigh Barty, número 1 do mundo, e a americana Sofía Kenin (15ª da WTA) se classificaram nesta terça-feira para as semifinais do Aberto da Austrália.
Barty venceu a tcheca Petra Kvitova (7ª) por 7-6 (8/6) e 6-2, enquanto Kenin (15ª) superou a tunisiana Ons Jabeur (78ª) por duplo 6-4.
Simples masculino (Quartas de final):
Roger Federer (SUI/N.3) x Tennys Sandgren (EUA) 6-3, 2-6, 2-6, 7-6 (10/8), 6-3
Novak Djokovic (SRV/N.2) x Milos Raonic (CAN/N.32) 6-4, 6-3, 7-6 (7/1)
Simples feminino (Quartas de final):
Ashleigh Barty (AUS/N.1) x Petra Kvitová (RTC/N.7) 7-6 (8/6), 6-2
Sofia Kenin (EUA/N.14) x Ons Jabeur (TUN) 6-4, 6-4